Question

20、如图，A地到火车站共有两条路径L₁和L₂，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间（分钟）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
选择L1的人数	6	12	18	12	12
选择L2的人数	0	4	16	16	4

（Ⅰ）试估计40分钟内不能

0.44

赶到火车站的概率；
（Ⅱ）分别求通过路径L₁和L₂所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（Ⅲ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的 路径．

Answer 1

分析：（I）先从表中看出不能按时赶到火车站的人数，把所有的四项人数相加，用这个人数除以调查的总数，得到要求的概率．
（II）从表中可以看出选择L₁的有60人，选择L₂的有40人，用每一组的人数除以选择这条道路的人数，得到频率．
（III）分别求出甲和乙两个人分别选择两条道路时，根据互斥事件的概率做出能够按时赶到火车站的概率，把所求的两个概率比较，分别给甲和乙选择合适的道路．

解答：解：（Ⅰ）由已知共调查了100人，
其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，
∴用频率估计相应的概率为0.44．
（Ⅱ）选择L₁的有60人，选择L₂的有40人，
故由调查结果得频率为：

所用时间（分钟）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
L1的频率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
L2的频率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

（Ⅲ）A₁，A₂，分别表示甲选择L₁和L₂时，在40分钟内赶到火车站；
B₁，B₂分别表示乙选择L₁和L₂时，在50分钟内赶到火车站．
由（Ⅱ）知P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6
P（A₂）=0.1+0.4=0.5，P（A₁）＞P（A₂）∴甲应选择L1
P（B₁）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8
P（B₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B₂）＞P（B₁），
∴乙应选择L₂．

点评：本题考查等可能事件的概率，考查频率分布表，考查用样本估计总体，本题题干比较长，但解题时应用的原理不复杂，是一个基础题．