Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+2x+c，若不等式f（x）<0的解集是{x|-4<x<2}.

（1）求f（x）的解析式；

（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明；

（3）若函数f（x）在区间[m，m+2]上的最小值为-5，求实数m的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析（3）1或5

【解析】

利用二次函数小于零的解集，可以判断-4，2时f(x)=0的解，利用韦达定理，可求得a，c的值；根据单调性定义法（1.取值，2作差，3定号，4下结论），证明函数的单调性；利用函数的单调性确定函数最小值，从而求得m值

因为不等式f（x）<0的解集是{x|-4<x<2}.所以-4，2方程ax2+2x+c=0的两个是根，利用韦达定理：，解的：a=1,c=-8；故：

任取

则f（x1）-f（x2）=（x12+2x1-8）-（x22+2x2-8）=（x21- x22）+ 2（x1-x2）

=（x1+x2）（x1-x2）+ 2（x1-x2）=（x1-x2）（x1+x2+2）

因为：

所以：x1-x2<0,x1+x2+2>0,故：f（x1）-f（x2）<0,因此：f（x1）<f（x2）

所以： f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数

（3）由（1）知：，对称轴：x=-1,

因为函数f（x）在区间[m，m+2]上的最小值为-5，故对称轴落在区间[m，m+2]中，

由于f(x)在区间

当m>-1时，f（x）在区间[m，m+2]上为递增，则最小值

解得：m=-3(舍)，m=1

当m<-3时，f（x）在区间[m，m+2]上为递减，

则最小值，

解得：m=-5或m=-1(舍)

故：答案为：m=1或m=-5