Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是AB₁，BC₁上的点，且满足AM=BN，
有下列4个结论：①MN⊥AA₁；②MN∥AC；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN⊥BB₁D₁D．其中正确的结论的序号是

①③

．

Answer 1

分析：根据题意，分析命题：首先利用点M∈AB₁，N∈BC₁，M，N可以是这两条直线上的任意的点，取特殊位置，排除②④两个结论，做出辅助线作MM′⊥A₁B₁于M′，作NN′⊥B₁C₁于N′，即可得到答案．

解答：解：当M为A、N为B时，MN与AC相交．排除②；
当M为B₁，N为C₁时，直线MN与平面BB₁D₁D所成角是45°，所以排除④．
作MM′⊥A₁B₁于M′，作NN′⊥B₁C₁于N′，
易证|MM′|=|NN′|，MM′∥NN′
∴MN∥M′N′，
由此知①③正确．
故答案为：①③

点评：本题通过正方体的结构特征主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及平面与平面之间的位置关系，是高考中常见的题型，值得大家高度的重视．