Question

6．不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为16．

Answer 1

分析 利用基本不等式进行求解，先求出（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）的最小值为（$\sqrt{a}$+1）²，然后解不等式即可．

解答 解：（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）=1+a+$\frac{y}{x}$+$\frac{ax}{y}$≥1+a+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{ax}{y}}$=1+a+2$\sqrt{a}$=（$\sqrt{a}$+1）²，
即（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）的最小值为（$\sqrt{a}$+1）²，
若不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）≥25对任意正实数x，y恒成立，
∴（$\sqrt{a}$+1）²≥25，即$\sqrt{a}$+1≥5，
则$\sqrt{a}$≥4，
则a≥16，
即正实数a的最小值为16，
故答案为：16．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式先求出（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）的最小值为（$\sqrt{a}$+1）²是解决本题的关键．