Question

设函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f（x）=x³．则下列四个命题中正确的命题是（　　）
①f（x）是以4为周期的周期函数；
②f（x）在[1，3]上的解析式为f（x）=（2-x）³；
③f（x）的图象的对称轴中有x=±1；
④f（x）在(

3

2

，f(

3

2

))处的切线方程为3x+4y=5．

Answer 1

分析：对于①，由f（x-2）=-f（x）对一切x∈R恒成立即可判断①的正误；
对于②，利用①f（x）是以4为周期的周期函数，当-1≤x≤1时，f（x）=x³即可求得f（x）在[1，3]上的解析式，从而可判断其正误；
对于③，由f（1+x）=f（1-x）与f（-1+x）=f（-1-x）即可判断③的正误；
对于④，由②f（x）在[1，3]上的解析式为f（x）=（2-x）³；即可求得f（x）在(

3

2

，f(

3

2

))处的切线的斜率，从而求得切线方程，可对④的正误作出判断．

解答：解：对于①，∵f（x-2）=-f（x）对一切x∈R恒成立，
∴f[（x-2）-2]=-f（x-2）=f（x），即f（x-4）=f（x）
以-x代x得：f（-x-4）=f（-x），
又函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，
∴-f（x+4）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，故①正确；
对于②，令1≤x≤3，则-1≤2-x≤1，故-1≤x-2≤1，
∵-1≤x≤1时，f（x）=x³，
∴f（x-2）=（x-2）³；
∵f（x-2）=-f（x），
∴-f（x）=（x-2）³，
∴f（x）=（2-x）³，故②正确；
∵f（x-2）=-f（x），
∴f[-1+（x-1）]=f[-1-（x-1）]=-f（x），
∴f（x）的图象关于x=-1对称；
∵f（2-x）=f（x），
∴f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]，
∴f（x）的图象关于x=1对称，
故③正确；
对于④，∵f（x）在[1，3]上的解析式为f（x）=（2-x）³；
∴f′（x）|x=

3

2

=[-3（2-x）²]|x=

3

2

=-

3

4

，又f（

3

2

）=（2-

3

2

）³=

1

8

，
∴f（x）在(

3

2

，f(

3

2

))处的切线方程为：y-

1

8

=-

3

4

（x-

3

2

）
整理得：3x+4y=5．
故④正确．
故选D．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的周期性及函数解析式的求解及常用方法，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，综合性强，属于中档题．