Question

抛物线C₁的顶点在原点焦点在y轴上，且经过点P（2，2），圆C₂过定点A（0，1），且圆心C₂在抛物线C₁上，记圆C₂与x轴的两个交点为M、N．
（1）求抛物线C₁的方程；
（2）当圆心C₂在抛物线上运动时，试问|MN|是否为一定值？请证明你的结论；
（3）当圆心C₂在抛物线上运动时，记|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出抛物线方程，代入P，即可求出抛物线的方程；
（2）表示出圆被x轴截得的弦长，利用圆心在抛物线上，即可得出结论；
（3）表示出

m

n

+

n

m

，分类讨论，利用基本不等式，即可求出最大值．

解答： 解：（1）由已知，设抛物线方程为x²=2py，则
代入P（2，2），可得p=1，
∴抛物线C₁的方程为x²=2y；
（2）设圆的圆心C₂（a，b），则圆的半径为

a2+(b-1)2

，
∴圆被x轴截得的弦长为|MN|=2

r2-b2

=2

a2+b2-2b+1-b2

=2

a2-2b+1

，
∵a²=2b，
∴|MN|=2；
（3）由（2）知，不妨设M（a-1，0），N（a+1，0），则
m=

(a-1)2+1

=

a2+2-2a

，n=

(a+1)2+1

=

a2+2+2a

，
∴

m

n

+

n

m

=

2a2+4

a4+4

=2

1+ 4a2 a4+4

．
a=0时，

m

n

+

n

m

=2；
a≠0时，

m

n

+

n

m

=2

1+ 4 a2+ 4 a2

≤2

2

，当且仅当a=±

2

时，

m

n

+

n

m

取得最大值2

2

．

点评：待定系数法是求圆锥曲线的常用方法，利用基本不等式可以解决最值问题．