Question

已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分图象，如图所示．
（1）求函数解析式；
（2）若方程f（x）=m在[-

π

12

，

13π

12

]有两个不同的实根，求m的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据已知中函数的图象求出函数的周期，要求出ω，进而根据“第一点向左平移量”法可求出φ值，代入可得函数的解析式；
（2）分析函数在[-

π

12

，

13π

12

]图象和性质，进而得到方程f（x）=m在[-

π

12

，

13π

12

]有两个不同的实根，即函数y=f（x）和y=m的图象在[-

π

12

，

13π

12

]有两个不同的交点时，m的取值范围．

解答： 解：（1）∵

T

2

=

5π

6

-

π

3

=

π

2

，
故T=π，
又∵ω＞0，
故ω=2，
故函数图象第一点的坐标为（-

π

6

，0）点，
即向左平移量L=

π

6

，
故φ=ω•L=

π

3

，
故f(x)=cos(2x+

π

3

)…（4分）
（2）由（1）中函数解析式可得当x∈[-

π

12

，

π

3

]或x∈[

5π

6

，

13π

12

]时，函数为减函数，
当x∈[

π

3

，

5π

6

]时，函数为减函数，
又∵f（-

π

12

）=cos

π

6

=

3

2

，f（

13π

12

）=cos

5π

2

=0，
故当m∈(-1，0)∪(

3

2

，1)时，函数y=f（x）和y=m的图象在[-

π

12

，

13π

12

]有两个不同的交点
即方程f（x）=m有两个不同的实根，
故m的取值范围为(-1，0)∪(

3

2

，1)…（8分）

点评：本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，其中根据已知求出函数的解析式是解答的关键．