Question

已知数列{a_n}，{b_n}是各项均为正数的等比数列，设c_n=

bn

an

，n∈N^*
（Ⅰ）证明：数列{c_n}是等比数列，数列{lna_n}是等差数列．
（Ⅱ）设数列{lna_n}，{lnb_n}的前n项和分别是S_n，T_n．若a₁=2，

Sn

Tn

=

n

2n+1

，求数列{c_n}的通项公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设d_n=

6cn

bn+1-4an+1-4an+2

，求数列{d_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（I）根据已知条件可设

an

an-1

=p，

bn

bn-1

=q，要证明数列c_n为等比数列只要证明

cn

cn-1

为非零常数；要证数列lna_n为等差数列，只要证lnan-lnan-1=ln

an

an-1

为常数
（II）利用（I）的条件可知数列lna_nlnb_n都为等差数列，代入等差数列的和公式整理可得

Sn

Tn

=

n+ ln4-lnp lnp

lnq lnp •n+  2lnb1-lnq lnp

=

n

2n+1

，根据对应项相等可得p、q、b₁，进而求出a_n，b_n
（III）代入（II）中的条件整理可得dn=

1

4n-1

- 

1

4n+1-1

，用裂项求和的方法可得结果．

解答：解：（1）设数列{a_n}、b_n的公比分别为p、q（p＞0，q＞0），
则由题意可得

an

an-1

=p，

bn

bn-1

=q，
∴

cn

cn-1

=

an•bn

an-1•bn-1

= pq，c₁=a₁•b₁
所以数列c_n以a₁•b₁为首项，以pq为公比的等比数列
又因为lnan-lnan-1=ln

an

an-1

=lnp，
数列lna_n以lna₁为首项，以lnp为公差的等差数列
（2）由题意可得sn=n•ln2+

n(n-1)

2

×lnp，Tn=n•lnb1+

n(n-1)

2

×lnq
∴

Sn

Tn

=

n•ln2+ n(n-1) 2 • lnp

n•lnb1+ n(n-1) 2 •lnq

=

2ln2+(n-1)•lnp

2lnb1+(n-1)•lnq

=

n

2n+1

∴

n•lnp+(ln4-lnp)

n•lnq+(2lnb1-lnq)

=

n+ ln4-lnp lnp

n• lnq lnp + 2lnb1-lnq lnp

=

n

2n+1

∴

ln4-lnp

lnp

=0，

lnq

lnp

=2，

2lnb1-lnq

lnp

=1
∴p=4，q=16，b₁=8
∴a_n=2•4^n-1=2^2n-1，b_n=8•16^n-1=2^4n-1
（III）由（II）可得dn=

6•cn

bn+1-4an+1-4an+2

=

6•4n

8•16n-8•4n-2•4n+2

=

3•4n

4•(4n)2-5•4n+1

=

3•4n

(4n-1)(4n+1-1)

=

1

4n-1

-

1

4n+1-1

∴d₁+d₂+d₃+…+d_n
=

1

41-1

-

1

42-1

+

1

42-1

-

1

43-1

+…+

1

4n-1

-

1

4n+1-1

=

1

3

-

1

4n+1-1

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的定义及判定，考查了等差数列前n项和公式的理解和运用及数列求和中的裂项求和的方法，裂项后要注意相消的项及余下的项的规律．