Question

已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积的大小；

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）求二面角A-ED-B的正弦值．

 

Answer 1

（1）16；（2） ；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由三视图易得AC⊥平面BCE，则体积；（2）取EC的中点是F，连结BF，可证∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角，在△BAF中，利用余弦定理可求得异面直线DE与AB所成的角的余弦值为 ；（3）过C作CG⊥DE交DE于G，连AG，可证DE⊥平面ACG，

易知∠AGC为二面角A-ED-B的平面角，在△ACG中，可求得二面角A-ED-B的的正弦值为．

试题解析：（1）AC⊥平面BCE， 则

∴几何体的体积V为16．

（2）取EC的中点是F，连结BF，则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．

在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为

（3）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．可得DE⊥平面ACG，

从而AG⊥DE,∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，ＣG=,∴．∴．

∴二面角A-ED-B的的正弦值为．

考点：1．空间几何体的结构特征与三视图；2．空间几何中的线面角与二面角