Question

（2012•太原模拟）某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

完成以下问题：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
（Ⅱ）从[40，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和期望E（X）..

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据所求矩形的面积和为1求出第二组的频率，然后求出高，画出频率直方图，求出第一组的人数和频率从而求出n，由题可知，第二组的频率以及人数，从而求出p的值，然后求出第四组的频率和人数从而求出a的值；
（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人，机变量X服从超几何分布，X的取值可能为0，1，2，3，分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式求出期望即可．

解答：解：（Ⅰ）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
所以高为

0.3

5

=0.06．
频率直方图如下：

（2分）
第一组的人数为

120

0.6

=200，频率为0.04×5=0.2，所以n=

200

0.2

=1000．
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，
所以p=

195

300

=0.65．
第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，
所以a=150×0.4=60．（5分）
（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值
为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．（6分）
随机变量X服从超几何分布．P(X=0)=

C 0 12 C 3 6

C 3 18

=

5

204

，P(X=1)=

C 1 12 C 2 6

C 3 18

=

15

68

，P(X=2)=

C 2 12 C 1 6

C 3 18

=

33

68

，P(X=3)=

C 3 12 C 0 6

C 3 18

=

55

204

．
所以随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	5 204	15 68	33 68	55 204

（10分）
∴数学期望EX=0×

5

204

+1×

15

68

+2×

33

68

+3×

55

204

=2
（或者 EX=

12×3

18

=2）．（12分）

点评：本题主要考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了超几何分布的概念和计算能力，属于中档题．