Question

（2011•花都区模拟）已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，

AF2

•

F1F2

=0，若椭圆的离心率等于

2

2

．
（1）求直线AO的方程（O为坐标原点）；
（2）直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF₂的面积等于4

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的离心率e=

2

2

，即c=

2

2

a，可得b2=

1

2

a2，因此设椭圆方程为x²+2y²=a²．再设点A（x₀，y₀），因为向量

AF2

、

F1F2

的数量积为0，得到AF₂、F₁F₂互相垂直，所以x₀=c，将A（c，y₀），代入椭圆方程，化简可得y0=

1

2

a，得到A的坐标，从而得到直线AO的斜率为

2

2

，最后根据直线AO过原点，得直线AO的方程为y=

2

2

x；
（2）连接AF₁，BF₁，AF₂，BF₂，由椭圆的对称性可知：S_△ABF1=S_△ABF2=S_△AF1F2，可用△AF₁F₂的面积列式，解之得a²=16，c²=

1

2

a²=8，所以b²=a²-c²=8，最终得到椭圆方程为

x2

16

+

y2

8

=1．

解答：解：（1）∵

AF2

•

F1F2

=0，∴AF₂⊥F₁F₂，
又∵椭圆的离心率e=

c

a

=

2

2

，
∴c=

2

2

a，可得b2=

1

2

a2，--------（3分）
设椭圆方程为x²+2y²=a²，设A（x₀，y₀），由AF₂⊥F₁F₂，得x₀=c
∴A（c，y₀），代入椭圆方程，化简可得y0=

1

2

a（舍负）--------（5分）
∴A（

2 a

2

，

a

2

），可得直线AO的斜率KOA=

2

2

--------（6分）
因为直线AO过原点，故直线AO的方程为y=

2

2

x--------（7分）
（2）连接AF₁，BF₁，AF₂，BF₂，
由椭圆的对称性可知：S_△ABF1=S_△ABF2=S_△AF1F2，--------（9分）
∴S_△AF1F2=

1

2

×2c×y_A=4

2

，即

1

2

ac=4

2

--------（10分）
又∵c=

2

2

a
∴

2

4

a²=4

2

，解之得a²=16，c²=

1

2

a²=8，
∴b²=a²-c²=8，故椭圆方程为

x2

16

+

y2

8

=1--------（13分）

点评：本题给出一个特殊的椭圆，在已知其离心率的情况下求直线的方程和三角形的面积，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．