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    已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且
    AC
    •
    BC
    =0    ，|BC|=2|AC|．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使
    PQ
    =λ
    AB
    ，请给出证明．
    （1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，
    则A（2，0），设所求椭圆的方程为：x2+
    y2
    b2
    =4（0＜b＜1），由椭圆的对称性知|OC|=|OB|，
    由
    AC
    •
    BC
    =0得AC⊥BC，
    ∵|BC|=2|AC|，
    ∴|OC|=|AC|，
    ∴△AOC是等腰直角三角形，
    ∴C的坐标为（1，1），
    ∵C点在椭圆上
    ∴1+
    1
    b2
    =4，
    ∴b2=
    1
    3
    ，所求的椭圆方程为x2+3y2=4．
    （Ⅱ）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），
    不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，
    直线PC的方程为：y=k（x-1）+1，直线QC的方程为y=-k（x-1）+1，
    由
    y=k(x-1)+1
    x2+3y2-4=0
    得：（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0（*）
    ∵点C（1，1）在椭圆上，
    ∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为
    3k2-6k-1
    1+3k2
    ，设P（xP，yP），?Q（xQ，yQ），xP=
    3k2-6k-1
    1+3k2
    ，同理xQ=
    3k2+6k-1
    1+3k2
    ，
    kPQ=
    yp-yQ
    xP-xQ
    =
    k(xP+xQ)-2k
    xP-xQ
    =
    k(
    3k2-6k-1
    1+3k2
    +
    3k2+6k-1
    1+3k2
    )-2k
    3k2-6k-1
    1+3k2
    -
    3k2+6k-1
    1+3k2
    =
    1
    3

    而由对称性知B（-1，-1），又A（2，0），
    ∴kAB=
    1
    3
    ，
    ∴kPQ=kAB，
    ∴
    AB
    与
    PQ
    共线，且
    AB
    ≠0，即存在实数λ，使
    PQ
    =λ
    AB
    ．
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    与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为         .

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    如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于  ▲     

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    点P到x轴的距离比它到点（0，1）的距离小1，称点P的轨迹为曲线C，点M为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
    （1）求曲线C的轨迹方程；
    （2）当M的坐标为（0，-l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
    （3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点，设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，
    MF
    =λ
    FB
    （λ＞0）
    （1）若λ=1，求直线l斜率
    （2）若点A、B在x轴上的射影分别为A1，B1且|
    B1F
    |，|
    OF
    |，2|
    A1F
    |成等差数列求λ的值
    （3）设已知抛物线为C1：y2=x，将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C1′．圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点N．已知点P是抛物线C1′上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C′1于T，S，两点，若过N，P两点的直线l垂直于TS，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C的顶点在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且准线方程为x=-1．
    （1）求抛物线C的标准方程；
    （2）过抛物线C焦点的直线l交抛物线于A，B两点，如果要同时满足：①|AB|≤8；②直线l与椭圆3x2+2y2=2有公共点，试确定直线l倾斜角的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    直线y=x+2与双曲线
    x2
    m
    -
    y2
    3
    =1有两个公共点，则m的    取值范围是（　　）
    A．m＞-1且m≠3B．0＜m＜7且m≠3C．m＞7D．m＜0

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的焦距为2，且过点(
    		2
    ，
    		6
    2
    )    ．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
    （ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
    （ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C与双曲线
    x2
    2
    -
    y2
    6
    =1    有相同焦点F1和F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，△ABF2的周长为8
    		3
    ．若直线y=t（t＞0）与椭圆C交于不同的两点E、F，以线段EF为直径作圆M．
    （1）求椭圆C的标准方程；
    （2）若圆M与x轴相切，求圆M被直线x-
    		3
    y+1=0    截得的线段长．

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