Question

（2013•宜宾二模）在平面直角坐标系xoy两轴正方向有两点A （a，0）、B（0，b）（a＞2，b＞2），线段AB和圆x²+y²-2x-2y+1=0相切，则△AOB的面积最小值为

3+2

2

．

Answer 1

分析：将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，由A与B坐标，表示出直线AB的解析式，根据线段AB和圆x²+y²-2x-2y+1=0相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，利用基本不等式求出ab的最小值，即可确定出三角形AOB面积的最小值．

解答：解：圆x²+y²-2x-2y+1=0化为标准方程得：（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圆心坐标为（1，1），半径r=1，
根据题意，由平面直角坐标系xoy两轴正方向有两点A （a，0）、B（0，b）（a＞2，b＞2），
∴直线AB为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
∵线段AB和圆x²+y²-2x-2y+1=0相切，
∴

|a+b-ab|

a2+b2

=1，即（a+b-ab）²=a²+b²，
整理得：a+b=

2+ab

2

≥2

ab

，当且仅当a=b时取等号，
变形得：（ab-6）²≥32，即ab-6≥4

2

或ab-6≤-4

2

（不合题意，舍去），
∴ab≥6+4

2

，即ab的最小值为3+2

2

，
∵S_△AOB=

1

2

ab，
则△AOB的面积最小值为3+2

2

．
故答案为：3+2

2

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，解决的关键是利用直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于半径，结合三角形的面积公式得到．