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已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足y=f(x+
π
2
)
为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述:
①y=f(x)是周期函数;
y=f(x+
π
2
)
的图象可以由y=f(x)的图象向右平移
π
2
得到;
③(-π,0)是y=f(x)的图象的一个对称中心;
④当x=
π
2
时,y=f(x)一定取最大值.
其中描述正确的是
 
分析:由题意可得f(-x)=-f(x),y=f(x+
π
2
)为偶函数?函数 y=f(x)关于x=
π
2
对称?f(x)=f(π-x),结合各命题及函数的性质可分别进行判断.
解答:解:∵f(x)是R上的奇函数
∴f(-x)=-f(x)(1)
∵y=f(x+
π
2
)为偶函数,函数的图象关于y轴对称
∴函数y=f(x)关于x=
π
2
对称即f(x)=f(π-x)(2)
由(1)(2)可得f(2π+x)=f(x)故①正确
②y=f(x)
向左平移
π
2
y=f(x+
π
2
)
,故②错误
③由函数为奇函数可得f(-π)=-f(π)(1);由周期函数可得f(x)=f(x+2π)(2)由(1)(2)可得f(-π)=-f(π)=f(π)=0,从而可知③正确
④x=
π
2
是函数的对称轴,取函数的最值,但不一定是最大值,故④错误
故答案为:①③
点评:本题主要考查了函数的性质的综合运用:函数的奇偶性,函数的对称性(轴对称与中心对称),函数的周期性的相关知识的综合运用,还要具备一定的逻辑推导的能力.
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]
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(     )

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