Question

14．已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）已知任一椭圆在其上面的点（x₀，y₀）处的切线方程均可写为$\frac{x{x}_{0}}{{a}^{2}}$+$\frac{y{y}_{0}}{{b}^{2}}$=1，设P是圆x²+y²=16上任意一点，过P作椭圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最值．

Answer 1

分析 （1）由已知得b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a²，b²即可，
（2）设P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用椭圆的一点（x₀，y₀）处的切线方程：$\frac{x{x}_{0}}{{a}^{2}}$+$\frac{y{y}_{0}}{{b}^{2}}$=1，出直线PA，PB的方程，进而得到AB的方程为$\frac{mx}{4}$+ny=1．代入椭圆方程，利用数量积公式，以及韦达定理，化简整理，结合P是圆x²+y²=16上任意一点，即可求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最值．

解答 解：（1）由已知得b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a²=4，b²=1，椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）：设P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵椭圆的一点（x₀，y₀）处的切线方程：$\frac{x{x}_{0}}{{a}^{2}}$+$\frac{y{y}_{0}}{{b}^{2}}$=1，∴A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）处的切线方程分别为：$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$，$\frac{{x}_{2}x}{4}+{y}_{2}y=1$
P（m，n）在两条切线上，∵$\frac{{x}_{1}m}{4}+{y}_{1}n=1$，$\frac{{x}_{2}m}{4}+{y}_{2}n=1$．
∴AB的方程为：$\frac{mx}{4}$+ny=1．代入椭圆方程可得（4n²+m²）x²-8mx+（16-16n²）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8m}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$，x₁x₂₌$\frac{16-16{m}^{2}}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+y₁y₂-n（y₁+y₂）+n²
=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+$\frac{（4-m{x}_{1}）（4-m{x}_{2}）}{16}$-$\frac{8-m（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+n²
=m²+n²-6+$\frac{20-3{m}^{2}}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$，
∵m²+n²=16，∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=11-$\frac{44}{3{n}^{2}+16}$，
则当n²=0，即P（±4，0）时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$有最小值$\frac{33}{4}$
当n²=16，即P（0，±4时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$有最大值$\frac{165}{11}$，

点评 本题综合考查椭圆的方程及其应用、直线与椭圆的位置关系，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理解题，同时考查了学生的基本运算能力、运算技巧、逻辑推理能力，属于中档题．