Question

4．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A、B两点，且$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，则双曲线C的离心率的最小值为2．

Answer 1

分析 由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，根据$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，可得3x₂-x₁=2c，结合坐标的范围，即可求出双曲线离心率的最小值．

解答 解：由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），右焦点F（c，0），
∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，∴c-x₁=3（c-x₂），
∴3x₂-x₁=2c．
∵x₁≤-a，x₂≥a，∴3x₂-x₁≥4a，
∴2c≥4a，∴e=$\frac{c}{a}$≥2，
∴双曲线离心率的最小值为2，
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．