Question

16．讨论关于x的方程4^x-2^x+1-b=0（b∈R）的实根的个数．

Answer 1

分析 对b进行分类讨论：①当b=-1时，②当b＞-1时，分别讨论方程实根的个数，最后综合①、②，得出结论即可．

解答 解：①当b=-1时，2^x=1，∴方程有唯一解x=0；
②当b＞-1时，∵（2^x-1）²=1+b，即有2^x=1±$\sqrt{1+b}$．
∵2^x＞0，1+$\sqrt{1+b}$，∴2^x=1+$\sqrt{1+b}$的解为x=log₂（1+$\sqrt{1+b}$）；
令1-$\sqrt{1+b}$＞0，即为-1＜b＜0，
∴当-1＜b＜0时，2^x=1-$\sqrt{1+b}$的解为x=log₂（1-$\sqrt{1+b}$）；
综合①、②，得
当-1＜b＜0时原方程有两解：x=log₂（1±$\sqrt{1+b}$）；
当b≥0或b=-1时，原方程有唯一解x=log₂（1+$\sqrt{1+b}$）．

点评 本题主要考查了根的存在性及根的个数判断．解答的关键是利用函数与方程的转化思想和分类讨论的思想方法．