Question

8．已知函数f（x）=tan（x-π）sin（x+$\frac{3π}{2}$）sin（x-3π）+cos（x-$\frac{3π}{2}$）+2．
（I）化简f（x）；
（Ⅱ）若方程f（x）=m在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件利用诱导公式能求出f（x）．
（Ⅱ）由sin²x-sinx+2-m=0在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上有两个不相等的实数根，利用根的判别式得到△＞0，从而得m＞$\frac{7}{4}$．由sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，（sinx-$\frac{1}{2}$）²=m-$\frac{7}{4}$，得m≤2，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=tan（x-π）sin（x+$\frac{3π}{2}$）sin（x-3π）+cos（x-$\frac{3π}{2}$）+2
=tanx（-cosx）（-sinx）+（-sinx）+2
=sin²x-sinx+2．
（Ⅱ）∵方程f（x）=m在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上有两个不相等的实数根，
∴sin²x-sinx+2-m=0在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上有两个不相等的实数根，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，∴△=1-4（2-m）＞0，解得m＞$\frac{7}{4}$．
∴sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，又∵sin²x-sinx+2-m=0，
∴（sinx-$\frac{1}{2}$）²=m-$\frac{7}{4}$，
∵sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴直线y=m-$\frac{7}{4}$与抛物线y=（sinx-$\frac{1}{2}$）²在sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]上有两个交点，
∴m-$\frac{7}{4}$≤$\frac{1}{4}$，解得m≤2，
∴实数m的取值范围是（$\frac{7}{4}$，2]．

点评 本题考查函数式的化简求值，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式和配方法的合理运用．