Question

16．已知数列{a_n}，且2a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=3ⁿ，则数列{a_n}的通项公式为${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{\frac{2}{n}×{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 2a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=3ⁿ，当n≥2时，2a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=3^n-1，相减可得a_n．当n=1时，2a₁=3，解得a₁．

解答 解：2a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=3ⁿ，
∴当n≥2时，2a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=3^n-1，
相减可得：na_n=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，
∴a_n=$\frac{2}{n}×{3}^{n-1}$．
当n=1时，2a₁=3，解得${a}_{1}=\frac{3}{2}$．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{\frac{2}{n}×{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{\frac{2}{n}×{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推关系的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．