Question

13．已知两点A（$\sqrt{2}$，0），B（-$\sqrt{2}$，0），点P为平面内一动点，过点p作y轴的垂线，垂足为Q，且$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{P{Q}^{2}}$，则动点P的轨迹方程是x²-y²=2．

Answer 1

分析 由题意画出图形，设出P点坐标，得到$\overrightarrow{PA}、\overrightarrow{PQ}、\overrightarrow{PB}$的坐标，代入$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{P{Q}^{2}}$得答案．

解答 解：如图，

设P（x，y），则Q（0，y），
∵A（$\sqrt{2}$，0），B（-$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{PA}=（\sqrt{2}-x，-y），\overrightarrow{PB}=（-\sqrt{2}-x，-y）$，$\overrightarrow{PQ}=（-x，0）$．
由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{P{Q}^{2}}$，得$（\sqrt{2}-x，-y）•（-\sqrt{2}-x，-y）=2{x}^{2}$，
∴x²-2+y²=2x²，
即x²-y²=2．
故答案为：x²-y²=2．

点评 本题考查轨迹方程的求法，训练了平面向量在求解轨迹方程中的用法，是中档题．