Question

【题目】已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Acos B=2sin C﹣sin B．
（I）求角A；
（Ⅱ）若a=4 ，b+c=8，求△ABC 的面积．

Answer 1

【答案】∵2sinAcosB=2sinC﹣sinB，
∵由正弦定理可得：2acosB=2c﹣b，即：cosB= ，
又∵cosB= ，
∴ = ，解得：b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA= = = ，
又∵A∈（0，π），
∴A=
（Ⅱ）∵由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，a=4 ，b+c=8，
∴（4 ）2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc= ，
∴△ABC 的面积S= bcsinA= =
【解析】（I）由正弦定理化简已知等式可得cosB= ，结合余弦定理可求b2+c2﹣a2=bc，可求cosA，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（Ⅱ）由已知及余弦定理可得bc= ，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．