Question

将圆x²+y²-2x+4y=0按向量平移后得到圆O，直线l与圆O相交于A、B，若在圆O上存在点C，使，求直线l的方程及对应的点C坐标．

Answer 1

解：将圆的方程x²+y²-2x+4y=0化为（x-1）²+（y+2）²=5，
∴圆x²+y²-2x+4y=0按向量平移后得到圆x²+y²=5，
∵，又，
∴AB⊥OC，，
∴直线l的斜率，设直线l的方程为，
由得 5x²+4mx+4m²-20=0，△=16m²-20（4m²-20）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
∴，∵点在圆上，∴
解得，满足△=16m²-20（4m²-20）＞0
当时，l的方程为2x-4y+5=0，点C坐标为（-1，2）；
当时，l的方程为2x-4y-5=0，点C坐标为（1，-2）．
分析：先求出平移后的圆的方程，设出直线的方程，并把它代入圆的方程利用一元二次方程根与系数的关系，求出点C的坐标的解析式，把点C的坐标代入圆的方程，可解得m值，即得点C坐标．
点评：本题考查向量在几何中的应用，直线和园相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，体现了数形结合的数学思想．