Question

如图，已知圆C:(x+1)²+y²=r²(r为常数，且r＞2)，定点B(1，0)，A是圆C上的动点，直线AC与线段AB的垂直平分线l相交于点M．当点A在圆C上移动一周时，点M的轨迹记为曲线F．

(1)求曲线F的方程；

(2)求证：直线l与曲线F只有一个公共点M；

(3)若r=4，点M在第一象限，且，记直线l与直线CM的夹角为，

求tan．

Answer 1

解：(1)连接MB，由题意有

|MC|+|MB|=|MC|+|MA|=|AC|=r 

又r＞|BC|=2

∴点M的轨迹是以C(-1,0),B(1,0)为焦点的椭圆

∴a=   c=1

∴曲线F的方程为： 

(2)反证法：假设直线l与椭圆F还有另一个交点,连接C、B、A

∵点在l上，有|C|+|B|=|C|+|A|＞|AC|=r 

又点在F上,有  |C|+|B|=r,两者矛盾

故假设不成立，原命题成立. 

(3)∵r=4,故椭圆F方程为

设点M（2cosθ,sinθ）

则=(2cosθ+1,sinθ),=(2cosθ-1,sinθ),

∴·=4cos²θ-1+3sin²θ=

∴cos²θ=  ∴M(1,) 

由（2）知l为椭圆F的切线，由

,当y＞0时，有y=

∴  ∴k_l= 

[由公式求k_l不扣分（其中x₁=1,y₁=）]

又k_MC=故tanα=.