Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n∈N^*．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}成等比数列；
（2）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，试证明：T_n-n＜1．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$两边同时取倒数、整理可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$\frac{2}{3}$为首项、$\frac{1}{3}$为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$，从而$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{3}^{n}}$+1，利用等比数列的求和公式计算可知T_n=1+n-$\frac{1}{{3}^{n}}$，进而可得结论．

解答 证明：（1）∵a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{3{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$，
整理得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
又∵a₁=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}-1$=$\frac{5}{3}$-1=$\frac{2}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$\frac{2}{3}$为首项、$\frac{1}{3}$为公比的等比数列；
（2）由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{2}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{3}^{n}}$+1，
∴T_n=2（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）+n
=2•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$+n
=1+n-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴T_n-n=1+n-$\frac{1}{{3}^{n}}$-n=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$＜1．

点评 本题考查等比数列的判定及数列的求和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．