Question

下列命题中，正确的是

 

①平面向量

a

与

b

的夹角为60°，

a

=（2，0），|

b

|=1，则|

a

+

b

|=

7

；
②已知

a

，

b

是平面内两个非零向量，则平面内任一向量

c

都可表示为λ

a

+μ

b

，其中λ，μ∈R；
③已知

a

=（sinθ，

1+cosθ

），

b

=（1，

1-cosθ

），其中θ∈（π，

3π

2

），则

a

⊥

b

；
④O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：

OP

=

OA

+λ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

），λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：①由已知可求出

a

•

b

，然后根据|

a

+

b

|=

( a + b )2

，展开即可求解
②由平面向量的基本定理可知，

a

，

b

不能为共线向量
③把等式中

AB

| AB |

+

AC

| AC |

利用向量加法的平行四边形法则表示，由此式可知直线AP一定通过△ABC的内心．

解答： 解：①∵向量

a

与

b

的夹角为60°，

a

=（2，0），|

b

|=1
∴

a

•

b

=|

a

||

b

|cos60°=2×1×

1

2

=1
∴|

a

+

b

|=

( a + b )2

a 2+2 a • b + b 2

=

4+2+1

=

7

故①正确
由平面向量的基本定理可知，只要当

a

，

b

是平面内两个不共线的向量，则平面内任一向量

c

都可表示为λ

a

+μ

b

，其中λ，μ∈R，故②错误
③∵

a

=（sinθ，

1+cosθ

），

b

=（1，

1-cosθ

），其中θ∈（π，

3π

2

）
∴

a

•

b

=sinθ×1+

(1+cosθ)(1-cosθ)

=sinθ+

1-cos2θ

=sinθ-sinθ=0
∴

a

⊥

b

，故③正确
∵

OP

=

OA

+λ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

），λ∈（0，+∞），设

e1

=

AB

| AB |

，

e2

=

AC

| AC |

=

OA

+λ（

e1

+

e2

）

OP

-

OA

=λ(

e1

+

e2

)
∴

AP

=λ(

e1

+

e2

)
由向量加法的平行四边形法则可知，以

e1

，

e2

为邻边的平行四边形为菱形，而菱形的对角线平分对角
∴直线AP即为A的平分线所在的直线，即一定通过△ABC的内心，故④正确

点评：本题主要考查了命题真假关系的判断，解答④的关键是需要知道

a

| a |

是

a

方向上的单位向量