Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点 .
（I）求证：平面；
（II）求二面角的余弦值大小；
（III）求证：平面⊥平面.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（II）二面角的余弦值为．（III）证明见解析

（Ⅰ）证明：连结交于，连结.
是正方形，∴是的中点. ----------1分
是的中点，∴是的中位线. ∴. ----------2分
又∵平面，平面，----------3分
∴平面.------------------4分
（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
由故设，则
. ----------6分
底面，
∴是平面的法向量，．----------7分
设平面的法向量为,
,
则 即 
∴           令,则. ----------9分
∴,
∴二面角的余弦值为．------------------10分
（III），，
----------11分
  又且.----------12分
. 又平面   ----------13分
∴平面⊥平面.    ------------------14分