Question

6．已知数列{α_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=$\frac{2}{3}$a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数．
 （1）对任意实数λ，证明数列{α_n}不是等比数列；
（2）若数列{b_n}是等比数列，求λ的取值范围；
（3）若a_n＜3n对一切n∈N^*成立，L求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）假设存在一个实数λ使{a_n}是等比数列，利用a²₂=a₁a₃，代入计算、化简得出矛盾；
（2）通过将a_n+1=$\frac{2}{3}$a_n+n-4代入b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]计算可知b_n+1=-$\frac{2}{3}$b_n，利用数列{b_n}是等比数列可知λ≠-18；
（3）通过对a_n+1=$\frac{2}{3}$a_n+n-4变形可知3[a_n+1-3（n-6）]=2[a_n-3（n-7）]，进而可知数列{a_n-3（n-7）}是首项为λ+18、公比为$\frac{2}{3}$的等比数列，化简计算即得结论．

解答 （1）证明：假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，
则有a²₂=a₁a₃，即（$\frac{2}{3}$λ-3）²=λ（$\frac{4}{9}$λ-4），
∴$\frac{4}{9}$λ²-4λ+9=$\frac{4}{9}$λ²-4λ，
解得：9=0，矛盾，
所以数列{a_n}不是等比数列；
（2）解：b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]
=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{2}{3}$a_n-2n+14）
=$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ⁺¹•（a_n-3n+21）
=-$\frac{2}{3}$b_n，
又∵数列{b_n}是等比数列，
∴b₁=-（λ+18）≠0，即λ≠-18，
∴若数列{b_n}是等比数列，则λ≠-18；
（3）解：∵a_n+1=$\frac{2}{3}$a_n+n-4，
∴3[a_n+1-3（n-6）]=2[a_n-3（n-7）]，
又∵a₁-3（1-7）=λ+18，
∴数列{a_n-3（n-7）}是首项为λ+18，公比为$\frac{2}{3}$的等比数列，
∴a_n-3（n-7）=（λ+18）•$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$，
∵a_n＜3n对一切n∈N^*成立，
∴3（n-7）+（λ+18）•$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$＜3n对一切n∈N^*成立，
整理得：$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$＜$\frac{21}{λ+18}$，
∵$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$随着n的增大而减小，
∴1＜$\frac{21}{λ+18}$，
解得：λ＜3．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．