Question

6．设函数f（x）=|2x-3|，x∈R．
（1）若不等式f（$\frac{1}{2}$x）≤a-|x-2|的解集为{x|2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）若g（x）=$\frac{1}{f（x）+f（x+1）+m}$的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式即 a≥|x-2|+|x-3|，再根据绝对值的意义以及此不等式的解集为{x|2≤x≤3}，求得实数a的值．
（2）由题意可得|2x-3|+|2x-1|+m≠0恒成立，求得|2x-3|+|2x-1|的最小值，可得m的范围．

解答 解：（1）不等式f（$\frac{1}{2}$x）≤a-|x-2|，即|x-3|≤a-|x-2|，即 a≥|x-2|+|x-3|，
再根据|x-2|+|x-3|表示数轴上的x对应点到2、3对应点的距离之和，且此不等式的解集为{x|2≤x≤3}，
求得实数a=1．
（2）由于g（x）=$\frac{1}{f（x）+f（x+1）+m}$=$\frac{1}{|2x-3|+|2x-1|+m}$的定义域为R，∴|2x-3|+|2x-1|+m≠0恒成立．
由于|2x-3|+|2x-1|≥|（2x-3）-（2x-1）|=2，∴2+m＞0，∴m＞-2．

点评 本题主要考查绝地值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．