Question

（2009•台州二模）在等比数列{a_n}中，满足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂、a₄的等差中项，且an＜an+1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂、a₄的等差中项，a_n＜a_n+1，求出首项与公比，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由bn=

n

an

，确定通项，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由a₂+a₃+a₄=28，a₂+a₄=2（a₃+2），a_n＜a_n+1得a₁=2，q=2．…（4分）
∴数列{a_n}的通项公式为an=2•2n-1=2n．…（6分）
（Ⅱ）∵bn=

n

an

=

n

2n

，Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

．②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

…（12分）
∴Tn=2-

n+2

2n

，…（14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．