Question

已知命题P：函数f（x）=-

1

3

x³+mx²-（m+2）x+3在实数集R上是减函数； 命题Q：函数g（x）=

1

2

x²mlnx在[1，+∞）上是增函数．若命题P与命题Q中至少有一个是假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：分别判断命题P，Q为真命题时的等价条件，然后利用复合命题之间的关系确定参数m的取值范围．

解答：解：假设命题P与Q没有一个是假命题，即P，Q都为真命题．
（1）函数的导数为f'（x）=-x²+2mx-（m+2），要使函数在R上为减函数，
所以f'（x）=-x²+2mx-（m+2）≤0恒成立，所以4m²-4（m+2）≤0，解得-1≤m≤2．
（2）函数g（x）=

1

2

x²mlnx在[1，+∞）上是增函数．
则g′(x)=x-

m

x

≥0，在[1，+∞)上恒成立，
所以m≤x²在[1，+∞）上成立，所以m≤1．
综上P，Q都为真命题时，-1≤m≤1．所以命题P与命题Q中至少有一个是假命题时，则m＜-1或m＞1．

点评：本题主要考查复合命题的真假判断，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系．