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已知函数f(x)=lnx+x2-ax.
(I)若函数f(x)在其定义域上是增函数,求实数a的取值范围;
(II)当a=3时,求出f(x)的极值:
(III)在(I)的条件下,若f(x)≤
1
2
(3x2+
1
x2
-6x)
在x∈(0,1]内恒成立,试确定a的取值范围.
(Ⅰ)函数f(x)=lnx+x2-ax(x>0),则f′(x)=
1
x
+2x-a(x>0).
∵函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,
∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即
1
x
+2x-a≥0在(0,+∞)上恒成立.
1
x
+2x≥a.
∵当x>0时,
1
x
+2x≥2
2
,当且仅当
1
x
=2x,即x=
2
2
时等号成立.
∴a的取值范围是(-∞,2
2
];
(Ⅱ)当a=3时,f′(x)=
(2x-1)(x-1)
x
(x>0)

当0<x<
1
2
或x>1时,f′(x)>0,
1
2
<x<1时,f′(x)<0
∴f(x)在(0,
1
2
)和(1,+∞)上是增函数,在(
1
2
,1)上是减函数,
∴f(x)极大值=f(
1
2
)=-
5
4
-ln2,f(x)极小值=f(1)=-2
(III)设g(x)=f(x)-
1
2
(3x2+
1
x2
-6x)
=lnx-
1
2
x2+(3-a)x-
1
2x2

∴g′(x)=(
1
x
-x)+(3-a)+
1
x3

∵a∈(-∞,2
2
],且x∈(0,1]
∴g′(x)>0
∴g(x)在(0,1)内为增函数
∴g(x)max=g(1)=2-a
f(x)≤
1
2
(3x2+
1
x2
-6x)
在x∈(0,1]内恒成立,
∴2-a≤0,解得a≥2.
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x1+x2
2
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1
f(n)
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已知函数f(x)=xlnx
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3
x
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+
3
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x
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6
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6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
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