Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，侧面PAB为等边三角形，AB＝BC＝2CD＝2．

（Ⅰ）证明：AB⊥PD；

（Ⅱ）若PD＝2，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接，可得，再由线面垂直的判定可得平面，进一步得到.
（Ⅱ）由，，得，再由已知求得，，则点C到平面的距离等于点到平面的距离，证明平面⊥平面，过作，为垂足，可得平面，然后求解三角形得直线与平面所成角的正弦值．

（Ⅰ）证明：取AB的中点E，连接DE，PE，则AB⊥DE，AB⊥PE，

又DE∩PE＝E，∴AB⊥平面PDE，

则AB⊥PD；

（Ⅱ）解：∵AB∥CD，AB⊥PD，∴CD⊥PD，

又CD＝1，PD＝2，故PC．

由已知可得CD∥平面PAB，
∴点C到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离．

∵AB⊥平面PDE，∴平面PAB⊥平面PDE，
过D作DH⊥PE，H为垂足，

则DH⊥平面PAB，∴PE，DE＝2，

又PD＝2，∴DH．

设PC与平面PAB所成角为θ，则sinθ．

∴直线PC与平面PAB所成角的正弦值为．