Question

【题目】已知f（x）＝axex﹣lnx﹣x．

（Ⅰ）若f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）已知a＝1，若对任意的x＞0，均有f（x）＞cx2﹣2x+1成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0＜a．（Ⅱ）c≤e．

【解析】

（Ⅰ）先求导，得，分两种情况，讨论函数单调性，求出最值，再结合函数有两个不同的零点求出 的取值范围．
（Ⅱ）因为 f（x）≥cx2-2x+1对恒成立，则，得．再证明，当时，f，对恒成立，即可．

（Ⅰ），

若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．

若a＞0，y＝axex在（0，+∞）上递增，必存在唯一的x0∈（0，+∞），使得ax0e1，

此时，x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）递减，且当x→0+ 时，f（x）→+∞，

当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，且当x→+∞时，f（x）→+∞，

故f（x）min＝f（x0）＝ax0elnx0﹣x0，

因为ax0e1，可得lna+lnx0+x0＝0，

所以f（x）max＝1+lna，

由题意得，1+lna＜0，得a∈（0，），

综上，可得所求的取值范围是0＜a．

（Ⅱ）因为f（x）≥cx2﹣2x+1对x＞0恒成立，

则f（1）≥c﹣2+1，得c≤e．

下证，当c≤e时，f（x）≥cx2﹣2x+1，对x＞0恒成立

事实上f（x）≥cx2﹣2x+1xex﹣lnx+x﹣1﹣cx2≥0，

注意到lnx≤x﹣1，故只需证xex﹣cx2≥0，

只需证ex≥cx，因为ex≥ex≥cx，结论得证，

综上可知c的取值范围是c≤e．