Question

【题目】设定义在R上的函数，当时，取极大值，且函数的图象关于原点对称．

（1）求的表达式；

（2）试在函数的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上；

（3）设，，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或者，；（3）详见解析.

【解析】

（1）由奇偶性易得，由极值定义得，求出，，即可求的表达式；（2）求导数，利用，即可得出结论；（3）分别求出、的范围，即可证明结论．

（1）因为函数的图象关于原点对称，

所以函数是奇函数，即恒成立，

所以，，

由题意得，所以，

所以，经验证满足题意，所以．

（2），

设所求两点为，，其中，

得，

因为，所以，或，

即x1，x2为0，或，0

从而所求两点的坐标分别为，或者，．

（3）易知，

当时，，即在上递减，

得，即，

又，函数在处取极大值，

又，，，得，

所以．