Question

【题目】已知数列满足：，，设数列的前项和为.证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）由数学归纳法证得不等式；

（Ⅱ）先利用证明，得数列是递减数列，则，进而分析法证明原不等式，再构造函数，利用导数证得不等式成立；

（Ⅲ）由（Ⅱ）所证不等式取倒移项得数列的递推不等式关系，利用累加法得，利用分组求和即可证得数列的前项和；构造，利用导数分析单调性证得，即，同前面的证明过程，可证，即原不等式得证.

（Ⅰ）当时，，所以命题成立；

假设时命题成立，即.则

当时，有，所以.

故对于都有

（Ⅱ）令，即

所以在上单调递减，则

所以，即，所以数列是递减数列

故，因此.

要证明，即证

构造函数.

，所以在单调递减.

故，因此.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知成立，

则由递推关系累加法可得，故数列的前项和即

构造函数

，所以在单调递增.

故，得.

所以有，同前推理有，则同前由累加法可得，故同前分组求和的方式得.

因此得证.