Question

【题目】已知，函数，.

（1）求的单调区间

（2）讨论零点的个数

Answer 1

【答案】（1）在区间，上是增函数；（2）见解析

【解析】

（1）先求导，再根据导数正负判断函数增减性

（2）先对求导，可判断单调递增，再通过赋值和可判断存在实数

，使得，再通过讨论在零点处的最小值是小于零还是大于零来进一步判断零点个数

（1）的定义域为，且，则，,

当时，，是减函数； 当时，，是增函数

所以，所以在上，，

所以在区间，上是增函数.

（2）由题意知，

令，因为，

所以在上单调递增.

又，

.

所以存在实数，使得.

在上，，是减函数；在上，，是增函数.

所以的最小值是，其中满足，即，

所以

①当，即时，的最小值为0，此时有一个零点；

②当时，，没有零点，此时.

由的单调性，可得；

③当时，，有两个零点.

又，所以，

由的单调性，可得.

综上所述，当时，没有零点；

当时，只有1个零点；

当时，有2个零点.