Question

【题目】已知，椭圆C过点，两个焦点为，，E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为，直线l与椭圆C相切于点A，斜率为．

求椭圆C的方程；

求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.

【解析】

可设椭圆C的方程为，由题意可得，由椭圆的定义计算可得，进而得到b，即可得到所求椭圆方程；

设直线AE：，代入椭圆方程，运用韦达定理可得E的坐标，由题意可将k换为，可得F的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线EF的斜率，设出直线l的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，可得直线l的斜率，进而得到所求斜率之和．

解：由题意可设椭圆C的方程为，

且，，

即有，，

所以椭圆的方程为；

设直线AE：，代入椭圆方程可得

，

可得，即有，，

由直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，可将k换为，

可得，，

则直线EF的斜率为，

设直线l的方程为，代入椭圆方程可得：

，

由直线l与椭圆C相切，可得，

化简可得，解得，

则．