【题目】如图所示,正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,E,F分别是棱AA′,CC′的中点,过直线E,F的平面分别与棱BB′、DD′交于M,N,设BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题:
①平面MENF⊥平面BDD′B′;
②当且仅当x=时,四边形MENF的面积最小;
③四边形MENF周长L=f(x),x∈[0,1]是单调函数;
④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h(x)为常函数;
以上命题中假命题的序号为( )
A. ①④B. ②C. ③D. ③④
【答案】C
【解析】
①利用面面垂直的判定定理去证明平面
;②四边形
的对角线
是固定的,所以要使面积最小,则只需
的长度最小即可;③判断周长的变化情况;④求出四棱锥的体积,进行判断.
①连结,
,则由正方体的性质可知,
平面
,所以平面
平面
,所以①正确;②连结
,因为
平面
,所以
,四边形
的对角线
是固定的,所以要使面积最小,则只需
的长度最小即可,此时当
为棱的中点时,即
时,此时
长度最小,对应四边形
的面积最小,所以②正确;③因为
,所以四边形
是菱形,当
时,
的长度由大变小,当
时,
的长度由小变大,所以函数
不单调,所以③错误;④连结
,
,
,则四棱锥可分割为两个小三棱锥,它们以
为底,以
,
分别为顶点的两个小棱锥,因为三角形
的面积是个常数,
,
到平面
的距离是个常数,所以四棱锥
的体积
为常函数,所以④正确,所以四个命题中③假命题,所以选C.
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【题目】如图所示将同心圆环均匀分成n()格.在内环中固定数字1~n.问能否将数字1~n填入外环格内,使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同?
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【题目】已知,直线
经过定点
,直线
经过定点
,且
与
相交于
点,这两条直线与两坐标轴围成的四边形面积为
.
(1)证明:,并求定点
、
的坐标;
(2)求三角形面积最大值,以及
时的
.
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【题目】已知椭圆:
的左、右两个顶点分别为
,点
为椭圆
上异于
的一个动点,设直线
的斜率分别为
,若动点
与
的连线斜率分别为
,且
,记动点
的轨迹为曲线
.
(1)当时,求曲线
的方程;
(2)已知点,直线
与
分别与曲线
交于
两点,设
的面积为
,
的面积为
,若
,求
的取值范围.
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【题目】已知以椭圆C:(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2上,A、B在椭圆C上,若矩形ABCD的周长为,求直线AB的方程.
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【题目】已知,椭圆C过点,两个焦点为
,
,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,直线EF的斜率为
,直线l与椭圆C相切于点A,斜率为
.
求椭圆C的方程;
求
的值.
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【题目】某校有、
、
、
四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖,在结果揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.
甲说:“、
同时获奖.”
乙说:“、
不可能同时获奖.”
丙说:“获奖.”
丁说:“、
至少一件获奖”
如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的,则获奖的作品是( )
A. 作品与作品
B. 作品
与作品
C. 作品
与作品
D. 作品
与作品
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【题目】用一个平面去截直立放置的圆柱,得圆柱的下半部分如图,其中为截面的最低点,
为截面的最高点,
为线段
中点,
为截面边界上任意一点,作
垂直圆柱底面于点
,
垂直圆柱于底面于点
,
垂直圆柱于底面于点
,圆柱底面圆心为
。已知
为底面直径,
在以
为直径的圆周上,
垂直底面,
,
,
,以
为原点,
为
轴正方向,圆柱底面为
平面,
为
轴正方向建立空间直角坐标系,设点
。
(1)求点的坐标,并求出
与
之间满足的关系式;
(2)三视图是解决立体几何问题时的有效工具,将圆柱下半部分在平面上的投影作为主视图,在
平面上的投影作为俯视图;在方框中作出主视图,并说明理由;再求出左视图所围区域的面积;
(3)判断截面的边界是什么曲线,并证明.再指出截面的面积(不需要证明)
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