Question

【题目】用一个平面去截直立放置的圆柱，得圆柱的下半部分如图，其中为截面的最低点，为截面的最高点，为线段中点，为截面边界上任意一点，作垂直圆柱底面于点，垂直圆柱于底面于点，垂直圆柱于底面于点，圆柱底面圆心为。已知为底面直径，在以为直径的圆周上，垂直底面，，，，以为原点，为轴正方向，圆柱底面为平面，为轴正方向建立空间直角坐标系，设点。

（1）求点的坐标，并求出与之间满足的关系式；

（2）三视图是解决立体几何问题时的有效工具，将圆柱下半部分在平面上的投影作为主视图，在平面上的投影作为俯视图；在方框中作出主视图，并说明理由；再求出左视图所围区域的面积；

（3）判断截面的边界是什么曲线，并证明.再指出截面的面积（不需要证明）

Answer 1

【答案】（1）;（2）主视图见解析; （3）椭圆,证明见解析;

【解析】

（1）根据垂直圆柱于底面于点,即可得的坐标;由于位于底面的圆周上,结合圆的方程即可得与之间满足的关系.

（2）根据几何体,可得主视图;画出左视图,即可求得左视图围成图形的面积.

（3）根据平面截圆柱形成截面性质可知所得截面为椭圆.根据椭圆的面积求法即可得截面面积.

（1）以为原点,为轴正方向,圆柱底面为平面,为轴正方向建立空间直角坐标系

因为垂直圆柱于底面于点,且

所以

因为底面是以为圆心的圆,即位于圆上,圆心为,半径为1

所以与之间满足的关系为

（2）主视图分别为在平面上的投影,所以主视图如下所示:

左视图如下图所示:

该部分的面积为

（3）将圆柱补充完整,并作两个内切球,分别切截面于.过点作与两个内切球分别交于

由切线长定理可知,

所以

由于为定值,所以由椭圆定义可知,动点的轨迹为椭圆,即截面的边界是椭圆

,

所以截面面积为