【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若在区间上存在不相等的实数
,使
成立,求
的取值范围;
(Ⅲ)若函数有两个不同的极值点
,
,求证:
.
【答案】(Ⅰ)函数的单调增区间为
,
,单调减区间为
;(Ⅱ)
;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)将代入函数的表达式,求出函数的导数,解关于导函数的不等式,从而求出函数的单调区间;(Ⅱ)问题转化为求使函数
在
上不为单调函数的
的取值范围,通过讨论
的范围,得到函数的单调性,进而求出
的范围;(Ⅲ)先求出函数的导数,找到函数的极值点,从而证明出结论.
试题解析:(Ⅰ)当时,
,
.
由,解得
,
.
当时,
>0,f(x)单调递增;
当时,
<0,f(x)单调递减;
当时,
>0,f(x)单调递增.
所以函数的单调增区间为
,
,单调减区间为
(Ⅱ)依题意即求使函数在
上不为单调函数的
的取值范围.
.设
,则
,
.
因为函数在
上为增函数,当
,
即当时,函数
在
上有且只有一个零点,设为
.
当时,
,即
,
为减函数;
当时,
,即
,
为增函数,
满足在上不为单调函数.
当时,
,
,所以在
上
成立
(因在
上为增函数),所以在
上
成立,
即在
上为增函数,不合题意.
同理时,可判断
在
上为减函数,不合题意.综上
(Ⅲ) .
因为函数有两个不同的极值点,即
有两个不同的零点,
即方程的判别式
,解得
.
由,解得
,
.
此时,
.
随着变化时,
和
的变化情况如下:
+ | - | 0 | + | ||
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以是函数
的极大值点,
是函数
的极小值点.
所以为极大值,
为极小值.
所以
因为,所以
.所以
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【题目】已知椭圆的离心率
,过点
和
的直线与原点的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆的左、右焦点,过
作直线交椭圆于
两点,求△
的内切圆半径
的最大值.
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【题目】把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件
C. 不可能事件 D. 必然事件
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【题目】已知正四棱锥P﹣ABCD如图.
(Ⅰ)若其正视图是一个边长分别为、
,2的等腰三角形,求其表面积S、体积V;
(Ⅱ)设AB中点为M,PC中点为N,证明:MN∥平面PAD.
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【题目】6月23日15时前后,江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击,风力达12级.灾害发生后,有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A,B,C,D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.
(1)甲轻型救援队所在方向不是C方向,也不是D方向;
(2)乙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;
(3)丙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;
(4)丁轻型救援队所在方向不是A方向,也不是D方向;
此外还可确定:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向,有下列判断:
①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向.
其中判断正确的序号是 .
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【题目】某中学为了了解全校学生的上网情况,在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生(其中男女生人数恰好各占一半)进行问卷调查,并进行了统计,按男女分为两组,再将每组学生的月上网次数分为5组:,得到如图所示的频率分布直方图:
(I)写出的值;
(II)在抽取的40名学生中,从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人,并用表示其中男生的人数,求
的分布列和数学期望.
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【题目】某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为( )
A.60 B.80 C.120 D.180
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