Question

求函数y=log 

1

2

（x-x²）的单调增区间，并求函数的最小值．

Answer 1

分析：令t=x-x² ＞0，求得函数的定义域为（0，1）且y=log

1

2

t，本题即求函数t在（0，1）上的减区间．再利用二次函数的性质求得t=-(x-

1

2

)2+

1

4

在（0，1）上的减区间，再利用函数的单调性求得函数的最小值．

解答：解：令t=x-x² ＞0，求得 0＜x＜1，
故函数的定义域为（0，1）且y=log

1

2

t，
故本题即求函数t在（0，1）上的减区间．
再利用二次函数的性质求得t=x-x² =-(x-

1

2

)2+

1

4

 在（0，1）上的减区间为[

1

2

，1），
故函数y=log 

1

2

（x-x²）的单调增区间为[

1

2

，1）．
由于当x=

1

2

时，函数t取得最大值为

1

4

，
故函数y的最小值为log

1

2

1

4

=2．

点评：本题主要考查复合函数的单调性、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．