Question

已知椭圆，抛物线：x²=a²y．直线l：x-y-1=0过椭圆的右焦点F且与抛物线相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为抛物线上两个不同的点，l₁，l₂分别与抛物线相切于A，B，l₁，l₂相交于C点，弦AB的中点为D，求证：直线CD与x轴垂直．

Answer 1

（1）解：由题意，∵x²=a²y，∴y=，∴y′=
设切点为（x，），则，解得x=2，a²=4
∵直线l：x-y-1=0过椭圆的右焦点F，
∴c=1，可得b²=3
∴椭圆方程为
（2）证明：抛物线方程为：x²=4y，设A（x₁，），B（x₂，）（x₁≠x₂）
抛物线在A处的切线为y=，在B处的切线为y=
两式相减可得=
∴，即
∵D为AB的中点，∴
∴x_C=x_D
∴直线CD与x轴垂直．
分析：（1）求导函数，确定切线的斜率，设切点，利用直线l：x-y-1=0过椭圆的右焦点F且与抛物线相切，即可求得椭圆方程；
（2）设切点坐标，求得抛物线在A、B处的切线方程两式相减，证明x_C=x_D，即可证得直线CD与x轴垂直．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查抛物线的切线，解题的关键是利用导数确定切线的斜率与方程，属于中档题．