Question

若

a

、

b

是两个不共线的非零向量（t∈R）．
（1）若

a

、

b

起点相同，t为何值时，若

a

、t

b

、

1

3

（

a

+

b

）三向量的终点在一直线上？
（2）若|

a

|=|

b

|且

a

与

b

是夹角为60°，那么t为何值时，|

a

-t

b

|有最小？

Answer 1

分析：（1）用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题，根据三个向量的终点在一条直线上，构造向量，得到向量之间的关系，得到要求的结果．
（2）求一个量的最小值，一般要先表示出这个变量，对于模长的运算，要对求得结果两边平方，变化为向量的数量积和模长之间的运算，根据二次函数的最值得到结果．

解答：解：（1）设

a

-t

b

=m[

a

-

1

3

（

a

+

b

）]（m∈R），
化简得（

2m

3

-1）

a

=（

m

3

-t）

b

．
∵

a

与

b

不共线，
∴

2m 3 -1=0 m 3 -t=0

?

m= 3 2 t= 1 2 .

∴t=

1

2

时，

a

、t

b

、

1

3

（

a

+

b

）的终点在一直线上．
（2）|

a

-t

b

|²=（

a

-t

b

）²=|

a

|²+t²|

b

|²-2t|

a

||

b

|cos60°=（1+t²-t）|

a

|²，
∴t=

1

2

时，|

a

-t

b

|有最小值

3

2

|

b

|．

点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到求值域的问题，用二次函数求值域．