Question

16．已知α，β∈（0，π），且cosα=$\frac{1}{7}$，sin（α+β）=$\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，则cosβ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：∵α，β∈（0，π），且cosα=$\frac{1}{7}$，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∵sin（α+β）=$\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，
∴sinα＞sin（α+β），
∴α+β为钝角，
∴cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{11}{14}$，
 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-$\frac{11}{14}$•$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$•$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．