Question

7．已知数列{a_n}，a₁=1，$\frac{{2{S_n}}}{n}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$n²-n-$\frac{2}{3}$．
（1）求a_n；
（2）证明：$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}$＜$\frac{7}{4}$（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （1）通过因式分解可知$\frac{{2{S_n}}}{n}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$（n+2）（n+1），进而可知2S_n=na_n+1-$\frac{1}{3}$n（n+2）（n+1）、2S_n-1=（n-1）a_n-$\frac{1}{3}$n（n-1）（n+1），两式相减再除以2、变形可知$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$，进而计算即得结论；
（2）通过a_n=n²（n≥3）放缩可知$\frac{1}{a_n}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，进而并项相加即得结论．

解答 （1）解：∵$\frac{{2{S_n}}}{n}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$n²-n-$\frac{2}{3}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$（n²+3n+2）=a_n+1-$\frac{1}{3}$（n+2）（n+1），
∴2S_n=na_n+1-$\frac{1}{3}$n（n+2）（n+1），2S_n-1=（n-1）a_n-$\frac{1}{3}$n（n-1）（n+1），
两式相减再除以2，有：a_n=n（a_n+1-a_n）-n（n+1），
变形，得：$\frac{a_n}{n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-1$，即$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$，
又∵a₂=4，
∴$\frac{a_2}{2}-{a_1}$=1满足上式，
∴$\frac{a_n}{n}$=n，即a_n=n²（n∈N⁺）；
（2）证明：∵a_n=n²（n∈N⁺），
∴$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}$=1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{n^2}$
＜1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）×n}$
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$
＜$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法、考查构造数列法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．