Question

19．已知双曲线E的中心在坐标原点，离心率为2，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A、B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 9
• D． 12

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标和直线方程，根据双曲线和抛物线的关系求出a，c，解方程求出A，B的坐标进行求解即可．

解答 解：∵抛物线C：y²=8x，
∴抛物线的焦点坐标为（2，0），抛物线的准线方程为x=-2，
则双曲线E的右焦点为（2，0），
则c=2，
∵离心率为2，∴e=$\frac{c}{a}$=2，则a=1，
b²=c²-a²=4-1=3
则双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
将x=-2代入x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
得4-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，即$\frac{{y}^{2}}{3}$=3，
则y²=9，y=±3，
即A（-2，3），B（-2，-3）
则|AB|=3-（-3）=6，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线和抛物线性质的应用，根据条件求出双曲线的方程以及交点坐标是解决本题的关键．