Question

10．f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx+|sinx-cosx|）的值域是（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
• C． [-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1]
• D． [-1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]

Answer 1

分析 去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．

解答 解：由题$\frac{1}{2}$（sinx+cosx+|sinx-cosx|）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx（sinx＜cosx）}\\{sinx（sinx≥cosx）}\end{array}\right.$，
当 x∈[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]时，sinx∈[-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1]
当 x∈[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]时，cosx∈[-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1]
故可求得其值域为[-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1]．
故选：C．

点评 本题考点是求值域，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域．