Question

20．已知函数f（x）=x²+x-1，g（x）=x³-ax（a＜0），若对?x₁∈[1，2]，?x₂∈[2，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$≤g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由于对?x₁∈[1，2]，?x₂∈[2，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$≤g（x₂）成立，等价于$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$的最大值不大于g（x₂）的最大值，即3≤8-2a，从而求解．

解答 解：∵函数f（x）=x²+x-1，
∴对?x₁∈[1，2]，$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$=x₁+1≤3，
∵g（x）=x³-ax（a＜0），
∴g（x）单调递增
∴g（x₂）＞8-2a，
由于对任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[2，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$≤g（x₂）成立，等价于∈[2，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$的最大值不大于g（x₂）的最大值，即3≤27-3a，
∴a≤8
故a的取值范围是（-∞，8]

点评 本题考查函数的恒成立问题，转化为最值比较大小．