Question

8．已知二次函数f（x）=x²-bx-2．
（Ⅰ）当b=1，写出函数y=|f（x）|单调递增区间；
（Ⅱ）定义g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|f（x）|，x≥0}\\{f（x），x＜0}\end{array}\right.$，若函数y=g（x）-$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当b=1，写出函数的对称轴，画出函数的图象，从而求出函数的递增区间即可；
（Ⅱ）若函数y=g（x）-$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三个零点，即函数y=g（x）与y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三个交点，先讨论g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}-bx-2|，x≥0}\\{{x}^{2}-bx-2，x＜0}\end{array}\right.$的图象，对称轴为x=$\frac{1}{2}$b，再结合函数y=g（x）与y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三个交点，即可求实数b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）b=1时：f（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）=$（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$，
画出函数|f（x）|的图象，如图示：

∴f（x）的单调递增区间是（-1，$\frac{1}{2}$），（2，+∞）；
（Ⅱ）若函数y=g（x）-$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三个零点，即函数y=g（x）与y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三个交点，
先讨论g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}-bx-2|，x≥0}\\{{x}^{2}-bx-2，x＜0}\end{array}\right.$的图象，对称轴为x=$\frac{1}{2}$b．
①$\frac{1}{2}$b≤0，即b≤0时，此时，x≥0，f（x）≥0，函数y=g（x）与y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上最多只有两个交点，不合题意，舍去；
②0＜$\frac{1}{2}$b＜2，且f（2）=2-2b＞0，即0＜b＜1时，设y=g（x）的图象与x轴的正半轴的交点坐标为（x₀，0），而此时函数y=g（x）的图象在[-2.0]上单调递减，在[0，$\frac{1}{2}$b]上单调递增，[$\frac{1}{2}$b，x₀]上单调递减，[x₀，2]上单调递增，
此时f（-2）＞|f（$\frac{1}{2}$b）|＞f（0）＞f（2），f（x₀）=0，$\frac{1}{2}$b＜$\frac{1}{2}$，
∴要使y=g（x）与y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三个交点，则满足：0＜$\frac{1}{2}$b≤2-2b，∴0＜b≤$\frac{4}{5}$；
③0＜$\frac{1}{2}$b＜2，且f（2）=2-2b≤0，即1≤b＜4时，函数y=g（x）的图象在[-2.0]上单调递减，在[0，$\frac{1}{2}$b]上单调递增，[$\frac{1}{2}$b，2]上单调递减，
此时$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$b＜2，∴y=g（x）与y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上不可能有三个交点；
④$\frac{1}{2}$b≥2，即b≥4时，函数y=f（x）的图象在[-2.0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，
∴y=g（x）与y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上最多只有两个交点，
综上所述，0＜b≤$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，考查图象的交点问题，正确分类讨论是关键．