Question

3．已知函数f（x）=xlnx+a，g（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y=g（x）也相切，求a的值；
（Ⅱ）?x＞1，f（x）+$\frac{1}{2}$＜g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）问题转化为xlnx+a+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$x²-ax＜0在（1，+∞）恒成立，令h（x）=xlnx+a+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$x²-ax，（x＞1），求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，
f（1）=a，f′（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程是：
y-a=（x-1），整理得：x-y+a-1=0；
由$\left\{\begin{array}{l}{y={\frac{1}{2}x}^{2}+ax}\\{y=x+a-1}\end{array}\right.$得：
$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x-a+1=0，
∴△=（a-1）²-4•$\frac{1}{2}$（-a+1）=0，
解得：a=±1；
（Ⅱ）?x＞1，f（x）+$\frac{1}{2}$＜g（x）恒成立，
即xlnx+a+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$x²-ax＜0在（1，+∞）恒成立，
令h（x）=xlnx+a+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$x²-ax，（x＞1），
h′（x）=lnx-x+1-a，h″（x）=$\frac{1}{x}$-1，
∴h′（x）在（1，+∞）递减，且h′（1）=-a，
①a＜0时，存在x₀∈（1，+∞），使得h′（x₀）=0，
此时h′（x）在（1，x₀）上恒大于0，
∵h（1）=0，
∴h（x）在（1，x₀）上恒大于h（1）不合题意；
②a＞0时，h′（x）恒小于0，h（x）＜h（1）=0成立；
③a=0时，同②，h（x）在（1，+∞）递减，
∴h（x）＜h（1）=0，
综上：a≥0．

点评 本题考查了曲线的切线方程，考查函数的单调性、最值问题，导数的应用，是一道综合题．